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「帰着」って言葉,知ってますか?2013年07月26日

こんにちは。先日も数学の記事をちょこっと書いたチューターです。

今日も数学のお話をしようと思うのですが,みなさんはタイトルにもある

「帰着」という言葉,ご存知でしょうか。

特に数学では,よくわからなかった問題を

一般的,基本的な公式に変形することを「帰着」といいます。

数学はどんなに難しく見える問題でも,それがひとたび基本公式に「帰着」されれば

もう答えはわかったも同然!という状態になります。間違いなく,数学を解く上で大事なことの一つは「基本的な式への帰着」です。

 

ということで,今回は(まずは簡単な題材ということで)

「2次方程式の解の公式」を平方根の定義から導いてみようと思います。

 

その前にまずは平方根の定義をおさらいしましょう。

平方根ってつまりこういうことです。

平方根の定義

もうすこし数学らしく書くと

平方根の定義2

今回はこの公式に2次方程式を「帰着」させてみましょう。

2次方程式は一般的に以下のように書けます。(以下とくに断らない限り文字は実数とします)

2次方程式

さて,この2次方程式を満たすxを僕たちは求めたいのですが,このままでは手も足も出ません。

そこで,数学ⅠAの式変形でおなじみの「平方完成」をして,整理してみます。すると式は下のようになりますね。

平方完成

ここで右辺の分子に出てくる式って,どこかで見たことがありますね。そう,(2次方程式の)判別式です。判別式の定義式は

判別式

で,2次方程式がいくつ実数解を持つかについては,下の条件で判別ができたのでしたね。

 判別式2

さて,今回はこの判別式を使って式を書き直してやると右辺の分子=Dなので

解の存在条件

ですね。これ左辺のカッコの中身をtと考えてやれば,上の平方根の定義式をxからtに置き換えただけになりますね。

ところで,平方根の定義から,右辺は0より大きくないといけないのでしたね。判別式の条件はここからも説明できます。

さて,以下では判別式が0より大きいとして計算してやると

定義式の利用

と、きれいにもとまりました。

 tからxへ

だったので,これを用いて式を書き直すと

完成まで後一歩

x=の形に書き直してやれば

完成!!!

となって,2次方程式の解の公式が得られましたね。

 

こんな感じで,一見どうやったらいいかわからない式を

基本的な公式にすることで数学は答えが出せます。

 

ということで長くなってしまいましたが今回はこんなところで。

次回(もしあれば)は2次関数のグラフをどうやって書くか,そして1,2問問題を解いてみたい…と思います。