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メビウスの輪2015年12月15日

チューターの田村です。

明日は幾何学のテストがあって猛勉強中なので、今回は少しだけ内容を紹介したいと思います。

幾何といっても高校でやった幾何とは全然違う印象を持つかもしれません。

 

明日の範囲は位相幾何といって、ドーナツとコーヒーカップが同じ、とか、穴の数しか考えない、とか言われるやつです。

ドーナツとコーヒーカップが同じというのは、どちらもぐにゃぐにゃにやわらかいと思ってコーヒーカップのコーヒーを入れる部分を変形させると、取っ手の穴だけ残ってドーナツと同じ形になるということです。

 

メビウスの輪というのは知っている人もいるかもしれませんが、長方形の細長い紙を半分ねじって両端をくっつけたものです。

どちらかの面を決めて、その面にそってぐるっと一周すると裏の面に来ることがわかります。

位相幾何学では、メビウスの輪は長方形を短辺の中心を結ぶような線(メビウスの輪では円周になっている)に集めるとただの円周になってしまうのであまり面白くありません。

そこでメビウスの輪の余っている端をくっつけてやります。

3次元ではどう頑張っても途中で邪魔な部分があってくっつけられなくなるので、4次元で考えます。

邪魔な部分にぶつかったら、いったん4次元の方向にずらして、ぶつからないところまで移動させて元の場所に戻ってくれば、きれいに一周くっつけることができます。

 

というのは冗談で、実際は長方形のまま考えます。

長方形の短い辺同士は逆向きに、長い辺同士は同じ向きに対応させ、対応している点同士がつながっていると考えます。

 

さっきは先に短い辺同士をくっつけましたが、先に長い辺同士をくっつけてみましょう。

すると円柱の側面ができます。

出来た二つの底面の対応する点同士をくっつけようと思うと、本当は4次元で考えなくてはいけませんが、イメージしやすいよう今回はさぼって側面を通り抜けてみます。

こうしてできたのがクラインの壺になります。

 

クラインの壺はメビウスの輪と同じように表裏(球面のような外と中)がありません。

他にも面白い性質があって、ぐるっと一周紐を巻きつけると取れませんが、もう一周巻きつけると紐を取ることができます。

これは、ドーナツのような穴は整数に対応するのに、メビウスの輪の穴がmod2で考えた整数に対応することに関係しています。

どうやったらとれるのか、紐を2回巻きつけてみて、いろいろ試行錯誤してみてください。