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一般化②2015年06月16日

チューターの田村です

ネタ不足のため前回に引き続き一般化の話です

 

前回アーベル群というものを紹介しました

アーベル群とは以下のようなものです

 

集合GとGの二項演算+が以下を満たす

(1)Gの元eが存在して任意のGの元aに対しa+e=e+a=a

(2)任意のGの元aに対しGの元a’が存在しa+a’=a’+a=e

(3)任意のGの元a,b,cに対しa+(b+c)=(a+b)+c

(4)任意のGの元a,bに対しa+b=b+a

 

これらの条件から(4)を除いたもの(除くというのは満たさないという意味ではなく、満たす必要はないということです)を群といいます

群の二項演算は・で表します

群からさらに(2)を除いたものをモノイドといい、モノイドからさらに(1)を除いたもの(つまり(3)を満たすもの)を半群といいます

これらはどんどん一般化されていることになります

 

さて、群には二項演算が1つしかなかったのですが、整数には+と×とがあるので、これらが同時に存在するような一般化を考えたいです

それを環と言います

 

集合RとRの二項演算+、・が

+に関しアーベル群、・に関し半群をなし、さらに以下を満たす

(1)任意のRの元a,b,cに対しa・(b+c)=a・b+a・c

(2)任意のRの元a,b,cに対し(a+b)・c=a・c+b・c

 

整数は+、×に関し環になっています

環の条件を使うと(-1)×(-1)=1を証明できます

ぜひ挑戦してみてください