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一般化2015年06月09日

チューターの田村です

数学をやっていると具体的なものをより一般のものにすることがあります

例えば誰でも知っている整数の足し算でも、数学の世界ではアーベル群というものになります

整数の足し算の満たす性質を挙げると

 

(1)0が存在して任意の整数aに対しa+0=0+a=a

(2)任意の整数aに対し-aが存在しa+(-a)=(-a)+a=0

(3)任意の整数a,b,cに対しa+(b+c)=(a+b)+c

(4)任意の整数a,bに対しa+b=b+a

 

というように書けます

そこでこれを一般化すると

 

集合GとGの二項演算+が以下を満たす

(1)Gの元eが存在して任意のGの元aに対しa+e=e+a=a

(2)任意のGの元aに対しGの元a’が存在しa+a’=a’+a=e

(3)任意のGの元a,b,cに対しa+(b+c)=(a+b)+c

(4)任意のGの元a,bに対しa+b=b+a

 

となり、これを満たす集合Gをアーベル群といいます(より正確には(G,+)の組をアーベル群といいます)

整数は足し算に関してアーベル群になっているので、アーベル群は整数の足し算の一般化と言えます

 

実は、実数から0を除いたものは掛け算に関してアーベル群になっています

それを確かめてみましょう(eやa’にあたるものは何になるでしょうか?)

他にアーベル群になっているものはあるでしょうか?