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先だっての円順列の問題よくあった間違い2013年09月16日

A組3人、B組3人、C組4人 の計10人が円状に並びます。ただしA組3人は隣合うことはできません。そしてなんと、B組の3人も隣り合うことができません。このような並び方は何通りありますか? という問題。

 

C組の一人を固定し、後の9人を横一列に並べることを考えると

全体で 9!通りの並べ方がある。・・・U

 

そのうち、A組の二人が並んでいるのは

3P2 × 8! 通り(当然この中にはA組の3人が並ぶ場合も含まれる)・・・・A

 

B組の二人が並ぶ場合も同様

3P2 × 8! 通り(当然この中にはB組の3人が並ぶ場合も含まれる)・・・・B

 

A組の二人が並び かつ B組の二人が並ぶ場合は

3P2 × 3P2 × 7! 通り・・・・A∩B

 

求めたいのは余事象

9!-( 3P2 × 8! + 3P2 × 8! )+ 3P2 × 3P2 × 7!

= 7! × (9×8-2×3×2×8+ 3×2×3×2)=12× 7!

 

何が間違えているのでしょうか?

A組の二人が並んでいるのは

3P2 × 8! 通り(当然この中にはA組の3人が並ぶ場合も含まれる) の箇所でしょう。

A1A2A3の並び と A1A2A3の並び は実際は同じことだが上の考え方だと 別々に数えられてしまうからだ。

当然、B組に関しても同じことが言えるから。