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円順列の解答2013年10月02日

A組3人、B組3人、C組4人 の計10人が円状に並びます。ただしA組3人は隣合うことはできません。そしてなんと、B組の3人も隣り合うことができません。このような並び方は何通りありますか?

 

先だって出した問題。

難しかったけど、数えればできるはず。

今回は一番初歩的な模範解答を載せます。

 

 

 

 

A1,A2,A3,  B1,B2,B3, C1,C2,C3,C4 の10名を 1~10の席に座らせる。

・     円順列なので A1の席だけ1に固定してしまえばいい。

 

A2,A3の座れる席の番号は

①(3,5)②(3,6)③(3,7)④(3,8)⑤(3,9)⑥(4,6)⑦(4,7)⑧(4,8)⑨(4,9)⑩(5,7)⑪(5,8)⑫(5,9)⑬(6,8)⑭(6,9)⑮(7,9) 

 

円状に並んだ10席の中でAが座る位置を考えた時に Aが座る席の間隔で上の15のパターンを4つのタイプに分けることができる。

 

ⅰ)1,1,5・・・①⑤⑮

ⅱ)1,2,4・・・②④⑥⑨⑬⑭

ⅲ)1,3,3・・・③⑩⑫

ⅳ)2,2,3・・・⑦⑧⑩

 

上の4つのタイプについて次にBの座る3席を考える。Bの3席が決まればCの座る4席は自ずと決まってくる。

 

ⅰ)①の場合で考える

・     AとAの間の5席にBが3人座る(6,8,10) 1通り

・     AとAの間の5席にBが2人座る

(6,8~10)、(7,9~10)、(8,10)⇒残りの1席は2又は4・・・6×2通り

・     AとAの間の5席にBが1人座る

(6~10)⇒ 残りの2席は(2,4)・・・・・5通り

つまり(ⅰ)パターンはA,B,Cの座る位置として 18通り

 

ⅱ)②の場合で考える

・     AとAの間の4席にBが2人座る

(7,9)(7,10)(8,10)⇒ 残りの1席は2、又は4又は5・・・9通り

・     AとAの間の4席にBが1人座る

(7~10)⇒ 残りの2席は(2,4)又は(2,5)・・2×4通り

つまり(ⅱ)パターンはA,B,Cの座る位置として 17通り 

 

ⅲ)③の場合で考える

・     AとAの間の3席の片方にBが2人座る

(4,6)⇒残りの1席は2,8,9,10

(8,10)⇒残りの1席は2,4,5,6   ・・・・8通り

・     全ての間にBが一人づつ

or5oror9or10)・・・・3×3通り

つまり(ⅲ)パターンはA,B,Cの座る位置として 17通り 

 

ⅳ)⑦の場合で考える

・     AとAの間の3席にBが2人座る。

(8,10)⇒残りの1席は2,3,5,6・・・4通り

・AとAの間の3席にBが1人座る。

or3oror9or10)・・・・2×2×3通り

つまり(ⅳ)パターンはA,B,Cの座る位置として 16通り

 

そしてAの座る席、Bの座る席、Cの座る席が1通り決まればその座り方は

2!×3!×4!=288通り(A1は固定されているため)

 

求める順列は

(18×3 + 17×6 + 17×3 + 16×3)× 288= 73,440通り