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微分と近似②2016年02月02日

チューターの田村です。

前回の続きです。

 

h≒0のとき

f(a+h)-f(a)≒f'(a)h

でした。この式をよく見ると、x=aの近くではhの差はfによってf'(a)倍されていることに気づきます。

これを考えると合成関数の微分が感覚的に理解できます。

 

合成関数とはf(g(x))の形の関数で、xをgで飛ばして、さらにfで飛ばします。

xをaの近くでhだけ動かすと、gによってg'(a)倍され、g'(a)hの差になります。またaはg(a)に飛んでいます。

これをさらにfで飛ばします。

x=g(a)の近くではg'(a)hの差は、fで飛ばすとf'(g(a))倍され、f'(g(a))g'(a)hの差になります。

つまり、x=aの近くの差は合成関数f(g(x))によってf'(g(a))g'(a)倍されています。

これは合成関数の微分

(f(g(x)))’=f'(g(x))g'(x)

を表しています。

 

実はこれは、ライプニッツの記法 f’=dy/dx そのものです。

ライプニッツの記法をただの記号とは思わず、図形的にイメージできると、微分の感覚も掴めると思います。