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微分と近似2016年01月26日

チューターの田村です。

最近(常に?)ネタ切れなので、また数学の話です。

 

関数f(x)があって、あるaでの大体の値を求めたいとします。

例えば、f(x)=(1+x)^10, a=0.1とします。

この時、f(a)=1.1^10ですが、パソコンならともかく、手計算では面倒です。

そこで近似した値を求めましょう。

まず、一番テキトーな近似を考えると、a=0.1で小さいからa=0と近似して

f(a)≒1^10=1

とします。

f(a)は大体1くらいと分かりましたが、さすがにおおざっぱすぎます。

次はf(a)がf(0)=1とどれくらい異なるかを考えてみます。すると

f(a)-1=f(a)-f(0)=a×(f(a)-f(0))/(a-0)

となります。右辺の分数の部分を近似してみましょう。

さっきと同じで、a=0としたいのですが、これだと0/0で意味がないのでa→0とします。これは微分の定義通りで

(f(a)-f(0))/(a-0)→f'(0)

となるので、f'(x)=10(1+x)^9に代入して

(f(a)-f(0))/(a-0)≒10

つまり、

f(a)-1≒10a=1すなわちf(a)≒2

とわかります。実際1.1^10=2.5937…なので、これはさっきよりも良い近似になっています。

同じことを一般のf(x),aについて考えるとh≒0のとき

f(a+h)≒f(a)+f'(a)h

となります。右辺は実はx=aでの接線の式になっていることに気付くと、図からもこの式が近似の式になっていることがわかります。