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微分方程式と物理2016年06月14日

チューターの田村です。

最近、少しずつですが雨の日が増えてきて、もう梅雨か……と憂鬱になってきています。

 

今日は微分方程式についてです。

微分方程式とは、その名前の通り微分を使った方程式です。

例えばyをxの関数として、y’=x, y”-3y’+2y=0、なんかは微分方程式になります。

ここでは簡単な微分方程式とその解き方だけ紹介して、物理の問題で微分方程式を使って解いてみます。

 

まずはy’=f(x)型

これは簡単で、両辺積分すればyをxで表せます。

同様にy”=f(x)型も解くことができます。

等加速度直線運動はx”=a(位置xが時間tの関数とみる)

なのでこの方法で解けます。(実は先々週、既にやっています)

 

次は定数係数線型斉次方程式型

これは、名前がごっついですが、ひとつひとつ見ていけばどういう方程式か分かります。

定数係数とは、その名前の通り、係数が定数だけでxとかは含まないということです。

線型とは、ベクトルのようなもので、解どうしを足したり、解に定数をかけたりしても、また解になるということです。

そう言われても、わかりづらいと思うので、今は微分方程式の形がyやy’やy”に係数がついて足されている

y’-y=1, y”-3y+2y=0

ものと思ってください。(実際そうです)

斉次とは定数項が無いものです。今の二つの例の後者が斉次です。

この方程式はyのn階微分をx^nと置き換えた方程式の解をα1,α2,…としたとき

y=C1 e^(α1x)+C2 e^(α2x)+… (C1, C2,…は定数)

となります。

 

例えばばねによる単振動はmx”=-kxなのでこの方法で解けます。

実際に解いてみましょう。

方程式を変形して

x”+k/m x=0

x”, xをそれぞれx^2,1に置き換えて方程式を解きます。(微分方程式の中のxはxの0階微分なので方程式に置き換えるときはx^0=1になります)

x^2+k/m=0

x=±√(k/m)i

よって解は

x=C1e^(√(k/m)it)+C2e^(-√(k/m)it)

になります。オイラーの公式を使うと、実はこれは

x=Asin(√(k/m)t)+Bcos(√(k/m)t)

と同じことを表しています。

ここから、周期T=2π√(m/k)などが求まります。

 

物理はたまに理屈もわからず暗記しないといけない公式などがありますが、実は数学的に求めることもできるのです。