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数学と物理2016年06月07日

チューターの田村です。

前回は微積を使って、位置、速度、加速度の関係を求めました。その続きです。

 

今度は仕事とエネルギーを考えます。

仕事は

W=∫ F dx

です。ここでFは物体にかかる力で、dxはその変位です。

実際はFとdxはベクトルで考えて内積をとるのですが、とりあえずは一次元だと思って普通に積分します。

F=m aだったので代入すると

W=m∫ a dx

変数がtになるように置換すると

W=m∫ a (dx/dt) dt

=m∫ a v dt

=m∫ v’ v dt

=Δ1/2 m v^2

これで仕事は運動エネルギーの差になることが分かりました。(?)

ちょっと待ってください。物理だと仕事は力学的エネルギーの差です。

力学的エネルギー=運動エネルギー+位置エネルギー

だったので、位置エネルギーどこに行ったのでしょうか?

 

位置エネルギーは物体に保存力(例えば重力)がかかっているとき、それに逆らって動かしたときのする仕事でした。

つまり、物体にかかっている保存力をfとすると、その力に対応する位置エネルギーは

U=∫-f dx

となります。

さっきの式で、物体にかかっている力を普通の力と保存力に分けてF+fに置き換えれば

W=Δ1/2 m v^2+∫-f dx=Δ(1/2 m v^2+U)

となり、仕事=力学的エネルギーの差がわかりました。