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新年2017年01月06日

こんにちは、チューターの田村です。

明けましておめでとうございます。

今日は久しぶりのチューターです。

 

正月は一年の節目ということで特になんですが、歳を取るにつれて一年が早く過ぎていくように感じます。

実際、体感時間はその人の年齢に反比例するというデータもあるそうです。

 

ここで数学の話に持っていくのが僕の悪いところなんですけど、無限歳まで生きれる人がいて、その人の体感時間での経過年数はどうなるでしょうか?

1歳のときは1年ぴったりと感じるとすると、例えば5歳まででは1+1/2+…+1/5=137/60≒2.3年だと感じます。

n歳まででは1+1/2+…+1/n年となるので、これは調和級数というものでn→∞のとき無限に発散することが知られています。

 

では、話を少し変えてみます。

体感時間がその人の年齢の2乗に反比例するとします。

このとき、同じことを考えるとどうなるでしょうか。

同じようにn歳まででは1+1/4+1/9+…+1/n^2年となります。

実はこの無限和は収束します。(数3をやった高校生なら収束することは示せます。証明してみてください。)

無限歳まで生きているのに、体感時間は有限になるなんて不思議ですね。(まあ、問題設定自体が空想なんですが……)

 

では今度はn歳のときの体感時間が1/(n番目の素数)年だとします。

例えば5歳まででは1/2+1/3+1/5+1/7+1/11年です。

同じことを考えるとどうなるでしょうか。

これは難しい問題ですが実は無限に発散します。

 

こうやって色々な数列の和を考えてみると面白い発見があるかもしれませんね。