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(-1)×(-1)2015年06月23日

チューターの田村です

前回の答えになります

まず環の定義を確認します

 

集合RとRの二項演算+,×が以下を満たす

(1)Rの元eが存在して任意のGの元aに対しa+e=e+a=a

(2)任意のRの元aに対しGの元a’が存在しa+a’=a’+a=e

(3)任意のRの元a,b,cに対しa+(b+c)=(a+b)+c

(4)任意のRの元a,bに対しa+b=b+a

(5)任意のRの元a,b,cに対しa×(b×c)=(a×b)×c

(6)任意のRの元a,b,cに対しa×(b+c)=a×b+a×c

(7)任意のRの元a,b,cに対し(a+b)×c=a×c+b×c

 

またRを整数全体の集合とすると

eにあたるのは0、a`にあたるのは-aとなります

つまり、0はどんな整数に足しても変わらない数、-1は1と足したら0になる整数で定義されます

 

では解答です

まず

任意のRの元aに対しa×0=0×a=0

を示します

 

a×(0+0)を2通りで計算します

まずは素直に計算すると0の性質(1)を使って

a×(0+0)=a×0

分配法則(6)を使うと

a×(0+0)=a×0+a×0

よって

a×0+a×0=a×0

性質(2)を使うと-(a×0)が存在することがわかるので、両辺に足すと

(a×0+a×0)+(-(a×0))=a×0+(-(a×0))

左辺で性質(3)を使うと

a×0+(a×0+(-(a×0)))=a×0+(-(a×0))

-(a×0)はa×0と足すと0になる数なので

a×0+0=0

0の性質(1)を使って

a×0=0

 

0×a=0も同様に示せます

続きは次回